1. La Regola di Ruffini
La Regola di Ruffini è il metodo di scomposizione universale per i polinomi a una sola variabile P(x). Si basa sul Teorema del Resto: un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x - a) se e solo se P(a) = 0. Il valore a viene chiamato radice o zero del polinomio.
P(x) = (x - a) · Q(x)Dove:
•
a è il valore che annulla il polinomio (P(a) = 0).
•
Q(x) è il polinomio quoziente di grado inferiore di 1 rispetto a P(x), i cui coefficienti si ottengono mediante la tabella di Ruffini.
Esempio pratico nel punto 1:
Scomponiamo il polinomio P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6.
1. Proviamo le possibili radici tra i divisori del termine noto 6 (±1, ±2, ±3, ±6).
2. Calcoliamo P(1): 1³ - 2(1)² - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0. Quindi a = 1 è una radice!
3. Il polinomio è divisibile per (x - 1).
4. Applicando lo schema di Ruffini otteniamo il quoziente Q(x) = x² - x - 6.
5. Risultato: P(x) = (x - 1)(x² - x - 6).
2. Come Troviamo i Candidati Zeri (Radici Razionali)
Per individuare i numeri a da testare nel polinomio:
- Se il coefficiente principale è 1: Le possibili radici sono tutti i divisori interi del termine noto.
- Se il coefficiente principale p ≠ 1: Le possibili radici sono frazioni del tipo
± (divisori del termine noto q) / (divisori del coefficiente principale p).
3. Lo Schema Grafico di Ruffini
Si dispongono i coefficienti di P(x) ordinati in modo decrescente (inserendo 0 per i termini mancanti). Si abbassa il primo coefficiente, lo si moltiplica per la radice a, si sommano le colonne e si prosegue fino a ottenere resto 0 nell'ultima colonna.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Scomponi mediante la regola di Ruffini il polinomio: P(x) = x³ - 4x² + x + 6.
Risoluzione passo-passo:
- Ricerca dello zero: Divisori di 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
•P(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 ≠ 0
•P(-1) = (-1)³ - 4(-1)² + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0. La prima radice èa = -1. - Divisione con la Tabella di Ruffini:
1 -4 1 6 -1 -1 5 -6 1 -5 6 0 - Scrittura del quoziente: I coefficienti restituiti sono 1, -5, 6, cioè
Q(x) = x² - 5x + 6. - Scomposizione finale:
P(x) = (x - (-1))(x² - 5x + 6) = (x + 1)(x² - 5x + 6). - Ulteriore scomposizione del trinomio: Il trinomio speciale
x² - 5x + 6si scompone in(x - 2)(x - 3).
🎯 Risultato finale: (x + 1)(x - 2)(x - 3)