1. Introduzione e Genesi della Teoria
Nel 1687, il fisico e matematico inglese **Isaac Newton** pubblicò l'opera fondamentale Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, all'interno della quale enunciava la Legge di Gravitazione Universale. Questa legge permise di unificare per la prima volta la fisica terrestre e la meccanica celeste, dimostrando che la stessa forza che fa cadere una mela a terra è quella che tiene legati i pianeti alle loro orbite attorno al Sole e la Luna alla Terra.
2. Enunciato della Legge
«Ogni corpo nell'universo attrae ogni altro corpo con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i loro centri.»
La forza di gravità è sempre una forza di natura **attrattiva** e agisce lungo la congiungente i centri dei due corpi considerati.
La forza gravitazionale $F$ tra due corpi di massa $m_1$ ed $m_2$ posti a distanza $r$ è data da: $$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$$ Dove:
- $F$ è la forza di attrazione gravitazionale (misurata in Newton, $\text{N}$);
- $m_1$ e $m_2$ sono le masse dei due corpi (in chilogrammi, $\text{kg}$);
- $r$ è la distanza tra i centri dei due corpi (in metri, $\text{m}$);
- $G$ è la costante di gravitazione universale, il cui valore sperimentale stimato è $G \approx 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$.
3. Proprietà Fondamentali della Forza
Analizzando la formula, emergono due aspetti chiave del comportamento della forza gravitazionale:
- Proporzionalità diretta con le masse: Raddoppiando la massa di uno dei due corpi, raddoppia anche l'intensità della forza attrattiva reciproca.
- Inversamente proporzionale al quadrato della distanza: Se la distanza $r$ tra i due corpi raddoppia, la forza gravitazionale diminuisce di un fattore $2^2 = 4$ (legge dell'inverso del quadrato). Se triplica, la forza si riduce di 9 volte.
4. Connessione con le Leggi di Keplero
Uno dei più grandi trionfi della legge di Newton fu la dimostrazione matematica che le tre leggi di Keplero sul moto planetario non erano semplici descrizioni geometriche empiriche, ma la naturale conseguenza dinamica della forza di gravità combinata con i principi della dinamica (in particolare la seconda legge $F = ma$). Newton riuscì persino a generalizzare la terza legge di Keplero, introducendo le masse dei corpi celesti nella formula del periodo orbitale.
📝 Esempio Pratico: Calcolo della Forza Gravitazionale
Problema: Calcola la forza di attrazione gravitazionale tra due corpi celesti sferici aventi rispettivamente una massa $m_1 = 4 \times 10^{20} \, \text{kg}$ ed $m_2 = 5 \times 10^{22} \, \text{kg}$, posti a una distanza reciproca $r = 2 \times 10^6 \, \text{m}$.
Svolgimento analitico:
- Scriviamo la formula generale: $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$
- Sostituiamo i valori numerici con la costante $G = 6,67 \times 10^{-11}$: $$F = (6,67 \times 10^{-11}) \cdot \frac{(4 \times 10^{20}) \cdot (5 \times 10^{22})}{(2 \times 10^6)^2}$$
- Moltiplichiamo le masse al numeratore: $$(4 \times 10^{20}) \cdot (5 \times 10^{22}) = 20 \times 10^{42} = 2 \times 10^{43}$$
- Calcoliamo il quadrato della distanza al denominatore: $$(2 \times 10^6)^2 = 4 \times 10^{12}$$
- Dividiamo il numeratore per il denominatore: $$\frac{2 \times 10^{43}}{4 \times 10^{12}} = 0,5 \times 10^{31} = 5 \times 10^{30}$$
- Moltiplichiamo per la costante $G$: $$F = 6,67 \times 10^{-11} \cdot 5 \times 10^{30} \approx 3,335 \times 10^{20} \, \text{N}$$
🎯 Conclusione: La forza di attrazione gravitazionale tra i due corpi è pari a circa $3,34 \times 10^{20} \, \text{N}$.