1. Che cos'è un Tronco di Piramide?
Se si seziona una piramide con un piano parallelo alla base, la piramide viene divisa in due parti: la parte superiore è una piramide più piccola (simile a quella di partenza), mentre la parte inferiore è un solido chiamato tronco di piramide.
Nel caso di un tronco ottenuto da una piramide retta a base quadrata, le caratteristiche principali sono:
- Base inferiore (A1): il quadrato maggiore alla base del solido, con lato l1 e perimetro P1.
- Base superiore (A2): il quadrato minore in alto, parallelo alla base inferiore, con lato l2 e perimetro P2.
- Altezza del tronco (h): la distanza perpendicolare tra i piani delle due basi.
- Apotema del tronco (ap): l'altezza di una delle facce laterali, che sono dei trapezi isosceli.
2. Formule Fondamentali del Tronco di Piramide
• Superficie Laterale (SL): SL = [(P1 + P2) · ap] / 2
• Superficie Totale (ST): ST = SL + A1 + A2
• Volume (V): V = (h / 3) · [A1 + A2 + √(A1 · A2)]
• Teorema di Pitagora per l'apotema (ap): ap2 = h2 + [(l1 - l2) / 2]2
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Un tronco di piramide regolare a base quadrata ha il lato della base inferiore di 12 cm, il lato della base superiore di 6 cm e l'altezza di 4 cm. Calcola l'apotema, la superficie laterale e il volume del solido.
Risoluzione passo-passo:
- Apotema del tronco con Pitagora:
ap = √(h2 + ((l1 - l2)/2)2) = √(42 + ((12 - 6)/2)2) = √(16 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm. - Perimetri di base:
P1 = 12 × 4 = 48 cm;P2 = 6 × 4 = 24 cm. - Superficie laterale:
SL = ((P1 + P2) · ap) / 2 = ((48 + 24) · 5) / 2 = (72 · 5) / 2 = 360 / 2 = 180 cm2. - Aree di base:
A1 = 122 = 144 cm2;A2 = 62 = 36 cm2. - Volume:
V = (h / 3) · (A1 + A2 + √(A1 · A2)) = (4 / 3) · (144 + 36 + √(144 · 36)) = (4 / 3) · (180 + 72) = (4 / 3) · 252 = 336 cm3.
🎯 Risultato: Apotema = 5 cm, Superficie laterale = 180 cm², Volume = 336 cm³.