1. Il Trinomio Cinetico / Speciale (Somma e Prodotto)
Un trinomio nella forma generale x² + Sx + P si dice trinomio speciale di 2° grado (o trinomio particolare). Può essere scomposto direttamente nel prodotto di due binomi del tipo (x + x₁)(x + x₂) senza ricorrere alle equazioni di secondo grado o alla formula del delta, ma applicando il metodo aritmetico di Somma e Prodotto.
x² + Sx + P = (x + x₁)(x + x₂)Dove occorre trovare due numeri interi
x₁ e x₂ tali che:
• Somma:
x₁ + x₂ = S (coefficiente del termine di 1° grado)
• Prodotto:
x₁ · x₂ = P (termine noto)
Esempio pratico nel punto 1:
Vogliamo scomporre il trinomio x² + 7x + 12.
1. Troviamo due numeri la cui Somma S è +7 e il cui Prodotto P è +12.
2. I numeri che moltiplicati danno 12 sono (1, 12), (2, 6) e (3, 4).
3. Scegliamo la coppia la cui somma fa 7: +3 e +4 (infatti 3 + 4 = 7 e 3 · 4 = 12).
4. Scriviamo direttamente la scomposizione: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Regola Pratica per i Segni
Per trovare velocemente le due cifre incognite x₁ e x₂:
- Se il Prodotto P è positivo (P > 0): i due numeri hanno lo stesso segno (entrambi positivi se S > 0, entrambi negativi se S < 0).
- Se il Prodotto P è negativo (P < 0): i due numeri hanno segni discordi (il numero con valore assoluto maggiore ha lo stesso segno della Somma S).
3. Caso Avanzato (con coefficiente a > 1: ax² + Sx + c)
Se il coefficiente di x² è diverso da 1 (es. ax² + bx + c), si cercano due numeri il cui Prodotto è a·c e la cui Somma è b. Si spezza il termine centrale e si applica il raccoglimento parziale.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Scomponi il trinomio speciale: x² - 5x - 14 senza usare formule di 2° grado.
Risoluzione passo-passo:
- Identifichiamo Somma e Prodotto:
• SommaS = -5
• ProdottoP = -14 - Cercando i fattori di -14: Poiché il prodotto è negativo, i due numeri hanno segno opposto. Le coppie moltiplicate che danno 14 sono (1, 14) e (2, 7).
- Verifica della somma: La coppia con differenza 5 è (+2, -7), infatti:
•(+2) + (-7) = -5(Somma S ok)
•(+2) · (-7) = -14(Prodotto P ok) - Scomposizione immediata: Inseriamo i due numeri trovati direttamente nei binomi.
🎯 Risultato finale: (x + 2)(x - 7)