1. Trasporto di un Fattore FUORI dal Segno di Radice
Un fattore presente nel radicando può essere portato **fuori** dalla radice se il suo esponente è **maggiore o uguale** all'indice della radice stessa.
Si esegue la **divisione intera** tra l'esponente $m$ del fattore e l'indice $n$ della radice ($m : n$):
- Il **quoziente** $q$ indica l'esponente del fattore che viene portato **fuori**.
- Il **resto** $r$ indica l'esponente del fattore che rimane **dentro** la radice.
$$\sqrt[n]{a^m} = a^q \cdot \sqrt[n]{a^r} \quad \text{con } m = n \cdot q + r$$
2. Trasporto di un Fattore DENTRO il Segno di Radice
Per portare un fattore esterno **dentro** il segno di radice, basta **elevare quel fattore all'indice della radice** e moltiplicarlo per il radicando già presente.
$$a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b} \quad \text{(se } n \text{ è pari, si assume } a \ge
0\text{)}$$
⚠️ Attenzione al Segno con Indice Pari:
Se l'indice della radice è pari, un fattore negativo non può essere inserito interamente sotto la radice. Il segno meno ($-$) deve rimanere fuori!
Esempio: $-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{12}$.
Se l'indice della radice è pari, un fattore negativo non può essere inserito interamente sotto la radice. Il segno meno ($-$) deve rimanere fuori!
Esempio: $-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{12}$.
📝 Esempi Guidati
- Trasporto Fuori: Semplifica $\sqrt{72}$
Scomposizione: $72 = 2^3 \cdot 3^2$.
- Per $2^3$: $3 : 2 = 1$ con resto $1 \implies 2^1$ fuori e $2^1$ dentro.
- Per $3^2$: $2 : 2 = 1$ con resto $0 \implies 3^1$ fuori e nessun $3$ dentro.
Risultato: $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. - Trasporto Dentro: Inserisci il fattore sotto radice
in $3\sqrt[3]{2}$
L'indice è $3$. Eleviamo $3$ alla terza ($3^3$):
$$3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$$