Enunciato e Funzione Integrale
Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (noto anche come Teorema di Torricelli-Barrow) stabilisce il legame inverso tra l'operazione di derivazione e quella di integrazione. Data una funzione \(f(x)\) continua in un intervallo \([a, b]\), si definisce funzione integrale la funzione \(F(x)\) tale che:
\[F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt\]
Il teorema afferma che la funzione integrale \(F(x)\) è derivabile in ogni punto \(x\) dell'intervallo e la sua derivata coincide con la funzione integranda:
\[F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right] = f(x)\]
💡 Conseguenza Operativa: Calcolo delle Aree
Grazie a questo teorema, per calcolare l'integrale definito di una funzione continua \(f(x)\) tra gli estremi \(a\) e \(b\), non è necessario ricorrere al calcolo dei limiti di somme di Riemann. È sufficiente trovare una qualsiasi primitiva \(G(x)\) di \(f(x)\) e applicare la formula:
\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = G(b) - G(a)\]