Enunciato del Teorema di De L'Hôpital
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni definite in un intorno \(I\) di un punto \(x_0\) (eventualmente infinito), derivabili in \(I \setminus \{x_0\}\). Supponiamo che:
- Forma indeterminata: \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0\) (oppure \(\pm\infty\)).
- Derivata del denominatore non nulla: \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x\) in un intorno di \(x_0\) (diverso da \(x_0\)).
- Esistenza del limite delle derivate: Esiste il limite del rapporto delle derivate \\(\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L\\) (dove \(L \in \mathbb{R}\) oppure \(\pm\infty\)).
Allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni e vale:
\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L\]
⚠️ Attenzione alle Ipotesi
Il teorema si può applicare unicamente alle forme indeterminate del tipo \(\left[\frac{0}{0}\right]\) o \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\). Altre forme (come \(0 \cdot \infty\), \(\infty - \infty\), \(1^\infty\)) devono essere preventivamente ricondotte a queste forme algebriche fondamentali prima di poter invocare De L'Hôpital.