Enunciato del Teorema di Cauchy
Siano \(f, g: [a, b] \to \mathbb{R}\) due funzioni che soddisfano le seguenti ipotesi:
- Continuità: \(f\) e \(g\) sono continue nell'intervallo chiuso \([a, b]\).
- Derivabilità: \(f\) e \(g\) sono derivabili nell'intervallo aperto \((a, b)\).
- Derivata non nulla: La derivata di \(g\) non si annulla mai in alcun punto dell'intervallo aperto: \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x \in (a, b)\).
Allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che:
\[\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
🔍 Relazione con il Teorema di Lagrange
Il Teorema di Cauchy rappresenta una generalizzazione del Teorema di Lagrange. Se poniamo \(g(x) = x\), l'ipotesi sulla derivata non nulla è banalmente verificata (\(g'(x) = 1\)) e la formula di Cauchy si riconduce esattamente alla formula del valor medio di Lagrange.