Enunciato del Teorema del Coseno
Il teorema del coseno (o teorema di Carnot) stabilisce che in qualsiasi triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, meno il doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo compreso tra di essi.
Formule fondamentali:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$Il teorema è fondamentale quando si devono risolvere triangoli nei seguenti casi:
- Conoscendo due lati e l'angolo compreso (caso L.A.L.) per trovare il terzo lato.
- Conoscendo i tre lati del triangolo (caso L.L.L.) per calcolare gli angoli interni invertendo la formula.
📝 Esempio Guidato
In un triangolo $ABC$, i lati misurano $a = 5\text{ cm}$ e $b = 7\text{ cm}$, e l'angolo compreso $\gamma = 60^\circ$. Calcola la misura del terzo lato $c$.
- Impostazione della formula di Carnot: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$
- Sostituzione numerica: $$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)$$ $$c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$
- Calcolo del lato $c$: $$c = \sqrt{39}\text{ cm}$$