Cos'è il Teorema dei Valori Intermedi?
Il Teorema dei Valori Intermedi (o proprietà di Darboux) stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato assume tutti i valori compresi tra il suo valore minimo e il suo valore massimo (e più in generale, qualsiasi valore compreso tra l'immagine degli estremi).
Enunciato formale:
Sia \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) una funzione continua. Allora per ogni valore \(u\) compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste almeno un punto \(c \in [a, b]\) tale che:
\[f(c) = u\]
🛠️ Il Corollario fondamentale: Il Teorema di Esistenza degli Zeri
Un'importante applicazione pratica del teorema dei valori intermedi è il Teorema di Bolzano o di esistenza degli zeri:
Se una funzione \(f(x)\) è continua su \([a, b]\) e assume valori di segno opposto agli estremi (\(f(a) \cdot f(b) < 0\)), allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f(c) = 0\).