1. Definizione e Proprietà della Retta Tangente
Una retta si dice tangente a una circonferenza quando ha in comune con essa un unico punto, chiamato punto di tangenza.
- Perpendicolarità al Raggio: Il raggio condotto nel punto di tangenza è sempre perpendicolare alla retta tangente
(r ⊥ t), formando un angolo di90°. - Tangenti da un Punto Esterno: Da un punto
Psituato all'esterno di una circonferenza è possibile condurre esattamente due rette tangenti alla circonferenza stessa.
2. Il Teorema dei Segmenti di Tangente
I segmenti di tangente compresi tra il punto esterno e i rispettivi punti di contatto sulla circonferenza godono di una importantissima proprietà geometrica:
• Congruenza: I due segmenti di tangente condotti da un punto esterno a una circonferenza sono congruenti (uguali) (PA ≅ PB).
• Bisettrice: Il segmento che congiunge il punto esterno con il centro della circonferenza è la bisettrice dell'angolo formato dalle due tangenti.
• Teorema di Pitagora: Congiungendo il centro O con il punto esterno P e con il punto di tangenza A, si forma un triangolo rettangolo OAP (rettangolo in A). Vale quindi la relazione: OP² = OA² + PA².
• Formula inversa per il segmento di tangente: PA = √(OP² - OA²)
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Da un punto P distante 13 cm dal centro di una circonferenza viene condotta una tangente. Sapendo che il raggio della circonferenza misura 5 cm, calcola la lunghezza del segmento di tangente compreso tra il punto P e il punto di contatto.
Risoluzione passo-passo:
- Consideriamo il triangolo rettangolo formato dal raggio
OA, dalla distanza dal centroOPe dal segmento di tangentePA. - Applichiamo il Teorema di Pitagora in forma inversa:
PA = √(OP² - OA²). - Sostituiamo i valori numerici:
PA = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144. - Eseguiamo la radice quadrata:
PA = 12 cm.
🎯 Risultato: Il segmento di tangente misura 12 cm.