1. Che cos'è un Sistema Simmetrico?
Un sistema di equazioni nelle incognite \(x\) ed \(y\) si dice simmetrico se, scambiando tra loro le due incognite \(x\) e \(y\) in tutte le equazioni che lo compongono, il sistema rimane formalmente inalterato (ovvero le equazioni conservano la stessa forma, a meno di un eventuale scambio di posizione dei termini).
Se scambiamo \(x\) con \(y\) nella seconda equazione otteniamo \(y^2 + yx + x^2 = 19\), che per la proprietà commutativa della somma e del prodotto è perfettamente identica all'equazione di partenza. Il sistema è quindi simmetrico.
2. Proprietà e Funzioni Simmetriche Elementari
Qualsiasi polinomio simmetrico nelle variabili \(x\) ed \(y\) può essere sempre espresso mediante le due funzioni simmetriche elementari:
- La somma: \(S = x + y\)
- Il prodotto: \(P = xy\)
Ricordiamo le principali identità algebriche utili per ricondurre qualsiasi sistema simmetrico alla forma elementare \(S\) e \(P\):
- \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = S^2 - 2P\)
- \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = S(S^2 - 3P)\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{S}{P}\) (con \(x \neq 0, y \neq 0\))
3. Metodo di Risoluzione: L'Equazione Ausiliaria
Se un sistema si presenta (o viene ricondotto) nella forma elementare:
Le due incognite \(x\) ed \(y\) possono essere interpretate come le radici di un'equazione di secondo grado ausiliaria nella variabile \(t\), costruita tramite la ben nota relazione di Cartesio / Viète:
Risolvendo l'equazione in \(t\) otteniamo due soluzioni, \(t_1\) e \(t_2\). Per via della simmetria del problema, le soluzioni del sistema saranno formate dalle coppie ordinate:
Risolviamo il sistema simmetrico: $$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$$
1. Trasformiamo l'equazione non elementare sfruttando le formule notevoli:
\(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P\).Quindi il sistema diventa: $$\begin{cases} S = 5 \\ S^2 - 2P = 13 \end{cases}$$
2. Sostituiamo il valore di \(S\) nella seconda equazione:
\(5^2 - 2P = 13 \implies 25 - 2P = 13 \implies 2P = 12 \implies P = 6\).3. Impostiamo l'equazione ausiliaria con \(S = 5\) e \(P = 6\):
\(t^2 - 5t + 6 = 0 \implies (t - 2)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 2, \, t_2 = 3\).4. Soluzioni finali del sistema: Le coppie simmetriche sono \((2, 3)\) e \((3, 2)\).