1. Che cos'è un Sistema Letterale?
Un sistema lineare si dice letterale quando, oltre alle incognite (solitamente \(x\) ed \(y\)), compaiono una o più lettere (chiamate parametri, es. \(a, b, k\)) che rappresentano numeri reali costanti ma non specificati. Un sistema letterale ridotto in forma normale si presenta nella forma:
Risolvere un sistema letterale non significa semplicemente trovare una terna o una coppia di numeri fissi, bensì determinare le soluzioni del sistema in funzione dei valori che il parametro può assumere. Questa fase fondamentale prende il nome di discussione del sistema.
2. La Metodologia di Risoluzione e l'Uso di Cramer
Il metodo più potente e rigoroso per affrontare i sistemi letterali 2x2 è il Metodo di Cramer, poiché permette di esprimere i determinanti direttamente in funzione del parametro letterale.
Dato il sistema generale:
Calcoliamo i determinanti caratteristici:
- Determinante Principale (\(D\)): \(D = ab' - a'b\)
- Determinante in \(x\) (\(D_x\)): \(D_x = cb' - c'b\)
- Determinante in \(y\) (\(D_y\)): \(D_y = ac' - a'c\)
3. La Discussione Completa: Determinato, Indeterminato, Impossibile
Una volta calcolati i determinanti in funzione del parametro, si procede alla discussione analizzando i vari casi possibili:
- Sistema Determinato (\(D \neq 0\)): Se il determinante principale risulta diverso da zero per determinati valori del parametro, il sistema ammette un'unica soluzione data da: $$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}$$
- Annullamento del Determinante Principale (\(D = 0\)): Quando il parametro assume valori che azzerano \(D\), il metodo di Cramer non è più applicabile direttamente (perché si dividerebbe per zero). In questi specifici casi si sostituisce il valore numerico del parametro direttamente nel sistema di partenza e si valuta il comportamento algebrico:
- Se contemporaneamente anche \(D_x = 0\) e \(D_y = 0\), le equazioni diventano equivalenti (o identiche): il sistema ammette infinite soluzioni e si dice indeterminato.
- Se almeno uno tra \(D_x\) o \(D_y\) è diverso da zero, si perviene a un'equazione impossibile (del tipo \(0 = num\) con \(num \neq 0\)): il sistema non ammette alcuna soluzione e si dice impossibile.
Discutiamo e risolviamo il sistema: $$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + ky = 1 \end{cases}$$
1. Calcolo dei determinanti:
\(D = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - (1)(1) = k^2 - 1 = (k-1)(k+1)\)\(D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k - 1\)
\(D_y = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = k - 1\)
2. Analisi del caso Determinato (\(D \neq 0 \implies k \neq 1\) e \(k \neq -1\)):
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{k-1}{(k-1)(k+1)} = \frac{1}{k+1}\)\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{k-1}{(k-1)(k+1)} = \frac{1}{k+1}\)
3. Studio dei casi particolari (\(D = 0\)):
- Se \(k = 1\): Sostituendo \(1\) al posto di \(k\) nel sistema otteniamo \(\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}\). Le due equazioni sono identiche, quindi il sistema è indeterminato (infinite soluzioni, rappresentate dalla retta \(x + y = 1\)).
- Se \(k = -1\): Sostituendo \(-1\) al posto di \(k\) otteniamo \(\begin{cases} -x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}\). Sommando le equazioni si ottiene \(0 = 2\), che è una contraddizione palese; pertanto il sistema è impossibile.