1. Che cos'è un Sistema Fratto?
Un sistema lineare fratto (o sistema con incognite al denominatore) è un insieme di equazioni in cui almeno un'incognita (\(x\) o \(y\)) compare all'interno di uno o più denominatori. Una forma tipica si presenta così:
Sebbene a un primo impatto visivo le equazioni non sembrino di primo grado (poiché l'incognita è a denominatore), queste strutture sono riconducibili a sistemi lineari algebrici standard mediante un'opportuna trasformazione o attraverso il calcolo del m.c.m., purché si ponga la massima attenzione alle restrizioni sul dominio.
2. La Regola d'Oro: Le Condizioni di Esistenza (C.E.)
Poiché la divisione per zero è un'operazione priva di significato matematico, la prima fondamentale operazione da compiere prima di qualsiasi calcolo algebrico è la determinazione delle Condizioni di Esistenza (C.E.) o campo di esistenza del sistema.
- Si individuano tutti i binomi o singoli termini letterali presenti nei denominatori di tutte le equazioni del sistema.
- Si pongono tali espressioni strettamente diverse da zero (\(\neq 0\)).
- L'insieme di queste disuguaglianze costituisce un sistema ausiliario di restrizioni che la soluzione finale dovrà tassativamente rispettare. Se un valore trovato in seguito viola le C.E., esso deve essere scartato in quanto non accettabile.
3. Metodi di Risoluzione Passo dopo Passo
Per risolvere un sistema fratto di 1° grado si seguono solitamente due strade alternative, a seconda della complessità:
Metodo A: Riduzione a Sistema Intero mediante il m.c.m.
- Si determinano le Condizioni di Esistenza (C.E.).
- Si calcola il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori all'interno di ciascuna equazione separatamente.
- Si riducono entrambe le equazioni allo stesso denominatore e si applica il principio d'equivalenza eliminando i denominatori comuni.
- Si risolve il sistema lineare intero così ottenuto (utilizzando il metodo di sostituzione, riduzione o Cramer).
- Si confrontano le soluzioni ottenute con le C.E. iniziali per decretarne l'accettabilità.
Metodo B: Sostituzione di Variabile ( Cambio di Variabile o "Posizione" )
Questo metodo risulta estremamente potente quando le incognite compaiono unicamente al denominatore (es. frazioni del tipo \(\frac{1}{x}\) e \(\frac{1}{y}\)).
- Si pongono C.E. per \(x\) e \(y\).
- Si introducono due nuove variabili ausiliarie (ad esempio ponendo \(u = \frac{1}{x}\) e \(v = \frac{1}{y}\)).
- Si riscrive il sistema sostituendo \(u\) e \(v\), ottenendo un sistema lineare intero nelle nuove variabili.
- Si risolve il sistema lineare per trovare \(u\) e \(v\).
- Si risale alle incognite originarie invertendo la posizione: \(x = \frac{1}{u}\) e \(y = \frac{1}{v}\).
Risolviamo il sistema: $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 5 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$$
1. Condizioni di Esistenza: \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\).
2. Posizione: Poniamo \(u = \frac{1}{x}\) e \(v = \frac{1}{y}\). Il sistema diventa:
\(\begin{cases} u + 2v = 5 \\ 3u - v = 1 \end{cases}\)3. Risoluzione del sistema ausiliario: Dalla seconda ricaviamo \(v = 3u - 1\). Sostituendo nella prima: \(u + 2(3u - 1) = 5 \implies u + 6u - 2 = 5 \implies 7u = 7 \implies u = 1\).
Se \(u = 1\), allora \(v = 3(1) - 1 = 2\).
4. Ritorno alle variabili originali:
\(x = \frac{1}{u} = \frac{1}{1} = 1\) (accettabile perché \(1 \neq 0\)).\(y = \frac{1}{v} = \frac{1}{2}\) (accettabile perché \(\frac{1}{2} \neq 0\)).
Soluzione finale: \(\left(x = 1, \, y = \frac{1}{2}\right)\).