1. Che cos'è un Sistema di Secondo Grado?
Un sistema si dice di secondo grado quando il grado complessivo del sistema è pari a 2. Il grado di un'equazione all'interno del sistema è dato dalla somma massima degli esponenti delle incognite in ciascun termine. Tipicamente, affrontiamo sistemi composti da un'equazione di 1° grado e una di 2° grado (o due equazioni di 2° grado).
2. Metodo Generale: Il Metodo di Sostituzione
Il metodo di sostituzione è universale e si applica a qualsiasi tipo di sistema non lineare:
- Si ricava un'incognita (preferibilmente di 1° grado) da una delle due equazioni (spesso la prima).
- Si sostituisce l'espressione così ottenuta all'interno dell'altra equazione (quella di 2° grado).
- Si sviluppa l'equazione risultante in un'unica incognita, riducendola in forma normale (\(ax^2 + bx + c = 0\)).
- Si risolve l'equazione di secondo grado trovando i valori dell'incognita.
- Si rientra nell'equazione di primo grado per calcolare i corrispondenti valori dell'altra incognita, formando le coppie di soluzioni \((x, y)\).
3. Metodi Particolari e Speciali
A. Sistemi Simmetrici Elementari
Un sistema si dice simmetrico se, scambiando tra loro le incognite \(x\) ed \(y\), le equazioni non cambiano. La forma elementare presenta la somma \(S = x + y\) e il prodotto P = xy:
Risoluzione: Si impostano come radici di un'equazione ausiliaria di secondo grado in una nuova variabile \(t\):
Le due soluzioni \(t_1\) e \(t_2\) dell'equazione ausiliaria rappresentano direttamente i valori di \(x\) ed \(y\) (tenendo conto della simmetria delle coppie \((t_1, t_2)\) e \((t_2, t_1)\)).
B. Sistemi Omogenei di Secondo Grado
Un sistema in cui tutti i termini letterali dell'equazione di secondo grado sono di 2° grado (mentre il termine noto è zero o costante) si dice omogeneo. Un trucco risolutivo classico consiste nel porre \(y = z \cdot x\) oppure nel combinare algebricamente le equazioni per eliminare i termini di secondo grado, riconducendo il sistema a una scomposizione in fattori o a equazioni lineari fratte.
4. Interpretazione Geometrica
Risolvere un sistema di secondo grado nel piano cartesiano significa trovare le coordinate dei punti di intersezione tra curve geometriche elementari:
- Una retta e una parabola.
- Una retta e una circonferenza (o un'ellisse / un'iperbole).
- Due parabole o due circonferenze.
Il numero di soluzioni reali del sistema corrisponde esattamente al numero di punti in cui le due curve si intersecano nel piano.
Risolviamo il sistema: $$\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$$
1. Ricaviamo \(x\) dalla prima equazione: \(x = y + 1\).
2. Sostituiamo nella seconda: \((y + 1)^2 + y^2 = 25 \implies y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25 \implies 2y^2 + 2y - 24 = 0\).
3. Semplifichiamo dividendo per 2: \(y^2 + y - 12 = 0\).
4. Troviamo le radici con la formula o scomponendo: \((y + 4)(y - 3) = 0 \implies y_1 = -4, \, y_2 = 3\).
5. Troviamo le \(x\) corrispondenti tramite la relazione \(x = y + 1\):
- Se \(y_1 = -4 \implies x_1 = -4 + 1 = -3\) (Soluzione: \((-3, -4)\)).
- Se \(y_2 = 3 \implies x_2 = 3 + 1 = 4\) (Soluzione: \((4, 3)\)).
Soluzioni finali: \((-3, -4)\) e \((4, 3)\).