Le Funzioni Fondamentali
Sulla circonferenza goniometrica, dato un angolo orientato \(\alpha\) associato al punto \(P(x_P, y_P)\), definiamo le funzioni trigonometriche principali:
- Coseno (\(\cos\alpha\)): È l'ascissa del punto \(P\). Geometricamente si legge sull'asse delle ascisse (\(x\)).
- Seno (\(\sin\alpha\)): È l'ordinata del punto \(P\). Geometricamente si legge sull'asse delle ordinate (\(y\)).
- Tangente (\(\tan\alpha\)): È il rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo, definita per \(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\):
$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
- Cotangente (\(\cot\alpha\)): È il reciproco della tangente (o il rapporto tra coseno e seno), definita per \(\alpha \neq k\pi\):
$$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha}$$
🔗 La Prima Relazione Fondamentale della Trigonometria
Poiché ogni punto \(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\) appartiene alla circonferenza goniometrica di equazione \(x^2 + y^2 = 1\), sostituendo otteniamo l'identità fondamentale valida per qualsiasi angolo \(\alpha\):
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
📝 Esempio Guidato
Sapendo che \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) e che l'angolo \(\alpha\) appartiene al primo quadrante, calcola \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).
Svolgimento:
- Dalla relazione fondamentale ricaviamo il coseno:
$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
- Calcoliamo la tangente come rapporto tra seno e coseno:
$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$
🎯 Risultato: \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) e \(\tan\alpha = \frac{3}{4}\).