Definizione di Secante e Cosecante
Oltre a seno, coseno e tangente, la goniometria definisce altre due funzioni trigonometriche importanti che rappresentano i reciproci di coseno e seno:
- Secante (\(\sec\alpha\)): È il reciproco del coseno dell'angolo, definita per tutti gli angoli in cui il coseno è diverso da zero (\(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)):
$$\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}$$
- Cosecante (\(\csc\alpha\)): È il reciproco del seno dell'angolo, definita per tutti gli angoli in cui il seno è diverso da zero (\(\alpha \neq k\pi\)):
$$\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}$$
⚠️ Condizioni di Esistenza (C.E.)
Poiché compaiono al denominatore, le funzioni secante e cosecante non sono definite dove rispettivamente il coseno o il seno si annullano:
- Per la secante: \(\cos\alpha \neq 0 \implies \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) (esclude i punti sull'asse \(y\)).
- Per la cosecante: \(\sin\alpha \neq 0 \implies \alpha \neq k\pi\) (esclude i punti sull'asse \(x\)).
📝 Esempio Guidato
Calcola il valore di \(\sec\alpha\) e \(\csc\alpha\) sapendo che \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) e che l'angolo si trova nel primo quadrante (con \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\)).
Svolgimento:
- Calcoliamo la secante invertendo il valore del coseno:
$$\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$$
- Calcoliamo la cosecante invertendo il valore del seno:
$$\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$$
🎯 Risultato: \(\sec\alpha = \frac{5}{4}\) e \(\csc\alpha = \frac{5}{3}\).