1. Riconoscere i Prodotti Notevoli in Inverso
Scomporre un polinomio tramite i prodotti notevoli significa leggere le formule dello sviluppo in direzione opposta. L'obiettivo è riconoscere la "struttura" del polinomio dal numero dei suoi termini e dalla presenza di potenze perfette.
🔹 Binomi (2 termini):
• Differenza di quadrati:
• Somma di cubi:
• Differenza di cubi:
🔹 Trinomi (3 termini):
• Quadrato di binomio:
🔹 Quadrinomi (4 termini):
• Cubo di binomio:
• Differenza di quadrati:
A² - B² = (A + B)(A - B)• Somma di cubi:
A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)• Differenza di cubi:
A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)🔹 Trinomi (3 termini):
• Quadrato di binomio:
A² ± 2AB + B² = (A ± B)²🔹 Quadrinomi (4 termini):
• Cubo di binomio:
A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A + B)³
2. Strategia di Riconoscimento
- Conta i termini: Un binomio può essere solo una differenza di quadrati o una somma/differenza di cubi. Un trinomio con due quadrati perfetti è candidato a essere un quadrato di binomio.
- Verifica sempre i termini intermedi: Non fermarti alle sole potenze! In un trinomio controlla che il terzo termine sia esattamente il doppio prodotto
2·A·B. In un quadrinomio controlla i due tripli prodotti. - Falso trinomio: Nelle scomposizioni di somme/differenze di cubi si ottiene un trinomio del tipo
(A² ∓ AB + B²)definito "falso quadrato": **non** si può scomporre ulteriormente nei reali.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Scomponi in fattori il polinomio: 27x³ - 8y³.
Risoluzione passo-passo:
- Identifichiamo la struttura: È un binomio con il segno meno tra due cubi perfetti → Differenza di cubi
A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²). - Troviamo le basi A e B:
A = 3x(poiché(3x)³ = 27x³) eB = 2y(poiché(2y)³ = 8y³). - Costruiamo il primo fattore (binomio):
(A - B) = (3x - 2y). - Costruiamo il secondo fattore (falso quadrato):
•A² = (3x)² = 9x²
•+ AB = +(3x)(2y) = +6xy
•B² = (2y)² = 4y²
🎯 Risultato finale: (3x - 2y)(9x² + 6xy + 4y²)