1. La Formula di Scomposizione
Se un trinomio di secondo grado $ax^2 + bx + c$ ammette due soluzioni $x_1$ e $x_2$ (cioè se $\Delta \ge 0$), esso si può scomporre in fattori di primo grado mediante la formula:
$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$
- Se $\Delta > 0$: Si ottengono due fattori distinti $a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Se $\Delta = 0$: Poiché $x_1 = x_2$, il trinomio diventa un quadrato di binomio: $a(x - x_1)^2$.
- Se $\Delta < 0$: Il trinomio è non scomponibile nel campo dei numeri reali.
📝 Esempio Guidato
Scomponi il trinomio: $2x^2 - 5x + 3$
- Risolviamo l'equazione associata $2x^2 - 5x + 3 = 0$: $$\Delta = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$$ $$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{4} \implies x_1 = 1, \, x_2 = \frac{3}{2}$$
- Applichiamo la formula con $a = 2$: $$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x - 3)$$