Razionalizzazione del Denominatore

Cos'è la Razionalizzazione?

La razionalizzazione è un procedimento algebrico che consente di trasformare una frazione contenente uno o più radicali al denominatore in un'altra frazione equivalente priva di radici al denominatore.

Caso 1: Denominatore con un'unica Radice Quadrata $\sqrt{a}$

Si moltiplicano sia il numeratore sia il denominatore per la stessa radice $\sqrt{a}$:

$$\frac{k}{\sqrt{a}} = \frac{k}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{k\sqrt{a}}{a}$$

Caso 2: Denominatore del tipo $\sqrt[n]{a^m}$ (con $m < n$)

Si moltiplica sia sopra sia sotto per $\sqrt[n]{a^{n-m}}$, in modo che l'esponente totale sotto radice diventi pari all'indice $n$ e la radice si semplifichi:

$$\frac{k}{\sqrt[n]{a^m}} = \frac{k}{\sqrt[n]{a^m}} \cdot \frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n-m}}} = \frac{k\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}$$

Caso 3: Denominatore con Somma o Differenza di Radici Quadrate ($\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$)

Si sfrutta il prodotto notevole differenza di quadrati> $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$, moltiplicando numeratore e denominatore per il fattore razionalizzante coniugato>:

$$\frac{k}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{k}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{k(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$$

$$\frac{k}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{k}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{k(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}$$

Caso 4: Denominatore con Somma o Differenza del tipo $a \pm \sqrt{b}$ o $\sqrt{a} \pm b$

Si procede in modo analogo al Caso 3, moltiplicando per il binomio con il segno opposto:

$$\frac{k}{a + \sqrt{b}} = \frac{k(a - \sqrt{b})}{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})} = \frac{k(a - \sqrt{b})}{a^2 - b}$$

📝 Esempi Guidati

Caso 1: Razionalizza $\frac{6}{\sqrt{3}}$
$$\frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$
Caso 2: Razionalizza $\frac{5}{\sqrt[3]{2}}$
Moltiplichiamo per $\sqrt[3]{2^{3-1}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$:
$$\frac{5}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{5\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{5\sqrt[3]{4}}{2}$$
Caso 3: Razionalizza $\frac{4}{\sqrt{5} - 1}$
Moltiplichiamo per il coniugato $(\sqrt{5} + 1)$:
$$\frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1$$

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