1. Struttura del Piano di Argand-Gauss
Il piano di Argand-Gauss (o piano complesso) è un sistema di assi cartesiani ortogonali modificato per consentire la visualizzazione geometrica dei numeri complessi:
- Asse delle Ascisse (Asse Reale): Corrisponde all'asse
xe ospita le parti realiRe(z) = adei numeri complessi. - Asse delle Ordinate (Asse Immaginario): Corrisponde all'asse
ye ospita i coefficienti delle parti immaginarieIm(z) = b. - Corrispondenza Biunivoca: Ogni numero complesso
z = a + ibviene associato in modo univoco al puntoP(a, b)del piano o al vettore applicato nell'origine avente coordinate(a, b).
2. Interpretazione Geometrica delle Operazioni
La visualizzazione grafica rende evidenti le proprietà algebriche fondamentali dei numeri complessi:
- Somma geometrica: Corrisponde alla tradizionale regola del parallelogramma per la somma vettoriale.
- Coniugio: Il coniugato
z̄ = a - ibsi rappresenta graficamente come il punto simmetrico diz(a, b)rispetto all'asse realex. - Modulo: Il modulo
|z| = √(a2 + b2)rappresenta la lunghezza geometrica del vettore che unisce l'origineO(0, 0)al puntoP(a, b).
Dato il numero complesso z = 3 + 4i:
• Nel piano di Argand-Gauss corrisponde al punto P(3, 4).
• La sua distanza dall'origine (il modulo) è |z| = √(32 + 42) = 5.
• Il suo coniugato z̄ = 3 - 4i si trova nel quarto quadrante nel punto simmetrico P'(3, -4).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Determina in quale quadrante del piano di Argand-Gauss si trova il numero complesso z = -2 + 5i e calcolane la distanza dall'origine.
Risoluzione passo-passo:
- Identifichiamo le coordinate cartesiane del punto associato:
a = -2(ascissa negativa) eb = 5(ordinata positiva). - Poiché
x < 0ey > 0, il punto appartiene al secondo quadrante. - Calcoliamo la distanza dall'origine (modulo):
|z| = √((-2)2 + 52) = √(4 + 25) = √29.
🎯 Risultato: Secondo Quadrante, Distanza = √29