1. Definizione e Formula Generale
Nel campo complesso, l'estrazione di radice di indice n (con n ≥ 2 intero) ammette sempre esattamente n soluzioni distinte. Dato un numero complesso z = r · (cos(θ) + i sin(θ)), le sue n radici n-esime wk sono date dalla formula:
dove l'indice k assume tutti i valori interi compresi tra 0 e n - 1 (cioè k = 0, 1, 2, ..., n-1).
2. Interpretazione Geometrica
Geometricamente, i punti del piano di Argand-Gauss che rappresentano le n radici n-esime di un numero complesso godono di proprietà notevoli:
- Stessa circonferenza: Hanno tutti lo stesso modulo
n√r, il che significa che si trovano tutti sulla medesima circonferenza centrata nell'origine e di raggion√r. - Poligono regolare: Gli affissi delle radici formano i vertici di un poligono regolare di
nlati inscritto in tale circonferenza, uniformemente distanziati da un angolo pari a2π / n.
Calcoliamo le radici quadrate di z = -4 (quindi n = 2, r = 4, θ = π):
• Modulo delle radici: 2√4 = 2.
• Per k = 0: w0 = 2 · (cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2i.
• Per k = 1: w1 = 2 · (cos((π + 2π)/2) + i sin(3π/2)) = 2 · (cos(3π/2) + i sin(3π/2)) = -2i.
• Soluzioni: w0 = 2i e w1 = -2i.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Trova le radici cubiche di z = 8 (ovvero le soluzioni di w3 = 8).
Risoluzione passo-passo:
- Scriviamo
z = 8in forma trigonometrica:r = 8,θ = 0. L'indice di radice èn = 3. - Il modulo delle tre radici è
3√8 = 2. - Applichiamo la formula per
k = 0, 1, 2:
• k = 0:w0 = 2 · (cos(0) + i sin(0)) = 2.
• k = 1:w1 = 2 · (cos(2π / 3) + i sin(2π / 3)) = 2 · (-1/2 + i √3/2) = -1 + i√3.
• k = 2:w2 = 2 · (cos(4π / 3) + i sin(4π / 3)) = 2 · (-1/2 - i √3/2) = -1 - i√3.
🎯 Risultato: w0 = 2, w1 = -1 + i√3, w2 = -1 - i√3