1. La Formula del Quadrato di Binomio
Il quadrato di un binomio è uno dei prodotti notevoli più importanti dell'algebra. La regola generale afferma che il quadrato della somma (o differenza) di due termini è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo termine.
🔹 Formula generale:
🔹 Con il segno meno:
(A + B)² = A² + 2AB + B²🔹 Con il segno meno:
(A - B)² = A² - 2AB + B²
2. Regole sui Segni
È fondamentale prestare attenzione ai segni del binomio di partenza:
- I due quadrati (
A²eB²) sono sempre positivi, indipendentemente dai segni iniziali. - Il doppio prodotto ha segno positivo se i due termini del binomio hanno lo stesso segno (concordi), e segno negativo se hanno segni opposti (discordi).
- Esempio:
(-A - B)² = A² + 2AB + B²(stesso risultato di(A + B)²).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola il seguente quadrato di binomio con coefficienti frazionari: ( 2/3 x - 3/4 y )².
Risoluzione passo-passo:
- Quadrato del primo termine:
(2/3 x)² = 4/9 x² - Doppio prodotto:
2 · (2/3 x) · (-3/4 y) = 2 · (-6/12 xy) = 2 · (-1/2 xy) = -xy - Quadrato del secondo termine:
(-3/4 y)² = +9/16 y² - Uniamo i tre termini ottenuti:
4/9 x² - xy + 9/16 y²
🎯 Risultato finale: 4/9 x² - xy + 9/16 y²