1. Principi di Equivalenza
- Primo principio di equivalenza: Aggiungendo o sottraendo una stessa espressione (definita nello stesso dominio) a entrambi i membri di un'equazione logaritmica, si ottiene un'equazione equivalente, purché non si modifichino le Condizioni di Esistenza (C.E.) originali degli argomenti.
- Secondo principio di equivalenza: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione logaritmica per una stessa quantità diversa da zero, si ottiene un'equazione equivalente, a patto di prestare attenzione a non restringere o alterare il campo di esistenza imposto dai logaritmi di partenza.
2. Uguaglianza e Proprietà Invariantive
- Uguaglianza tra logaritmi con la stessa base: Se due logaritmi con la medesima base sono uguali (
loga(f(x)) = loga(g(x))), i loro argomenti devono essere uguali (f(x) = g(x)), subordinatamente al rispetto rigoroso delle condizionif(x) > 0eg(x) > 0. - Proprietà invariantiva dell'argomento tramite potenze e radici: Elevando a una stessa potenza o estraendo la radice di entrambi i membri (o applicando le proprietà dei logaritmi come
loga(xk) = k · loga(x)), bisogna fare estrema attenzione a non introdurre soluzioni estranee o perdere domini di validità legati ai segni degli argomenti.
📐 Nota Teorica Fondamentale:
Ogni volta che si applicano proprietà che modificano l'esponente dell'argomento (es. portando fuori un esponente pari), si rischia di alterare il dominio originario introducendo soluzioni che violano la positività iniziale. È obbligatorio verificare la compatibilità con le C.E. sul testo di partenza.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Applica i principi di equivalenza per risolvere: log2(x2) = 4.
Risoluzione passo-passo:
- Impostiamo le C.E.: l'argomento deve essere strettamente positivo, ovvero
x2 > 0 ⇒ x ≠ 0. - Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi della potenza:
2 · log2(|x|) = 4. - Dividiamo entrambi i membri per
2(secondo principio di equivalenza):log2(|x|) = 2. - Passiamo alla forma esponenziale:
|x| = 22 = 4, da cui otteniamo le soluzionix = 4edx = -4. Entrambe rispettano la C.E. (x ≠ 0).
🎯 Soluzioni accettabili: x = 4 oppure x = -4