Definizione di Equazioni Equivalenti
Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se ammettono esattamente l'insieme delle stesse soluzioni. Per risolvere un'equazione è necessario trasformarla, passo dopo passo, in equazioni equivalenti più semplici, fino a isolare l'incognita (forma x = k). Per fare ciò si applicano i principi di equivalenza.
1. Primo Principio di Equivalenza
Sommando o sottraendo ai due membri di un'equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica (definita per tutti i valori dell'incognita), si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Se A(x) = B(x), allora A(x) ± C(x) = B(x) ± C(x)
Regole pratiche derivate dal 1° principio:
- Regola del trasporto: Si può trasportare un termine da un membro all'altro cambiando il suo segno.
- Regola di elisione: Termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere elisi (cancellati).
2. Secondo Principio di Equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero o espressione algebrica diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Se A(x) = B(x) e C ≠ 0, allora A(x) · C = B(x) · C e A(x) / C = B(x) / C
Regole pratiche derivate dal 2° principio:
- Cambio di segno: Moltiplicando o dividendo tutti i termini per
-1, si possono cambiare tutti i segni dell'equazione. - Semplificazione di coefficienti/denominatori: Si possono dividere tutti i termini per un divisore comune non nullo.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Risolvi l'equazione applicando i principi di equivalenza: 5x - 4 = 2x + 11.
Risoluzione passo-passo:
- Applicazione del 1° principio (Regola del Trasporto):
- Trasportiamo
2xal primo membro (diventa-2x) e-4al secondo membro (diventa+4): 5x - 2x = 11 + 4
- Trasportiamo
- Riduzione dei termini simili:
3x = 15
- Applicazione del 2° principio:
- Dividiamo entrambi i membri per
3(coefficiente dell'incognita): (3x) / 3 = 15 / 3 ⇒ x = 5
- Dividiamo entrambi i membri per
🎯 Risultato: x = 5.