Disequazioni Equivalenti
Due disequazioni si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme di soluzioni. Per risolvere una disequazione occorre trasformarla, tramite i principi di equivalenza, in una disequazione equivalente più semplice fino a isolare l'incognita $x$.
1. Primo Principio di Equivalenza
Sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione uno stesso numero o un'espressione algebrica definita per tutti i valori reali, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
2. Secondo Principio di Equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da zero, si distinguono due casi:
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Se il numero è POSITIVO ($> 0$): Il verso della disequazione rimane inalterato.
Esempio: $2x > 6 \implies x > 3$ (dividendo per $+2$). -
Se il numero è NEGATIVO ($< 0$): Il verso della disequazione deve essere invertito.
Esempio: $-3x > 9 \implies x < -3$ (dividendo per $-3$ e invertendo $> $ in $< $).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Risolvi applicando i principi di equivalenza: $-2x + 4 \le 10$
Svolgimento:
- Applichiamo la regola del trasporto al $+4$: $-2x \le 10 - 4 \implies -2x \le 6$.
- Dividiamo per $-2$ (numero negativo). Ricordiamoci di invertire il verso da $\le$ a $\ge$: $x \ge \frac{6}{-2} \implies x \ge -3$.
🎯 Soluzione finale: $x \ge -3$ ovvero $x \in [-3, +\infty)$.