La Prima Relazione Fondamentale
La prima relazione fondamentale della goniometria lega tra loro il seno e il coseno di uno stesso arco (o angolo). Essa deriva direttamente dall'applicazione del Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo formato dalle coordinate del punto sulla circonferenza goniometrica (dove il raggio è pari a 1).
Da questa identità fondamentale è possibile ricavare seno o coseno conoscendo l'uno o l'altro, tenendo conto del quadrante in cui si trova l'angolo:
- \(\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}\)
- \(\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}\)
La Seconda Relazione Fondamentale
La seconda relazione fondamentale lega la tangente di un angolo al rapporto tra il suo seno e il suo coseno, definita per tutti gli angoli in cui il coseno è diverso da zero (\(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)):
📝 Esempio Guidato
Sapendo che \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) e che l'angolo $\alpha$ appartiene al primo quadrante, calcola \(\cos\alpha\) e \(\tan\alpha\).
Svolgimento:
- Applichiamo la prima relazione fondamentale per trovare il coseno:
$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$*(Prendiamo il segno positivo poiché ci troviamo nel primo quadrante).*
- Applichiamo la seconda relazione fondamentale per trovare la tangente:
$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$
🎯 Risultato: \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) e \(\tan\alpha = \frac{3}{4}\).