1. Il Triangolo di Tartaglia
Per calcolare lo sviluppo di un binomio elevato a una potenza generica n, cioè (A + B)ⁿ, utilizziamo una disposizione triangolare di numeri nota come Triangolo di Tartaglia (o Triangolo di Pascal). Ogni riga del triangolo fornisce i coefficienti numerici dello sviluppo.
n = 0: 1
n = 1: 1 1
n = 2: 1 2 1
n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
n = 5: 1 5 10 10 5 1
n = 1: 1 1
n = 2: 1 2 1
n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
n = 5: 1 5 10 10 5 1
Come si costruisce:
Ogni riga inizia e finisce con il numero 1. Ogni numero interno è dato dalla somma dei due numeri sovrastanti della riga precedente.
2. Regola dello Sviluppo del Binomio
Per sviluppare (A + B)ⁿ:
- Lo sviluppo conterrà sempre n + 1 termini.
- I coefficienti di ciascun termine si leggono direttamente dalla riga
ndel Triangolo di Tartaglia. - Gli esponenti del primo termine
Apartono dane decrescono fino a 0. - Gli esponenti del secondo termine
Bpartono da0e crescono fino a n. - Se il binomio è una differenza
(A - B)ⁿ, i segni dei termini dello sviluppo saranno alternati (+ - + - + ...).
🔹 Esempio n = 4:
(A + B)⁴ = 1·A⁴ + 4·A³B + 6·A²B² + 4·AB³ + 1·B⁴
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola lo sviluppo del seguente binomio elevato alla quarta: ( 2x - y )⁴.
Risoluzione passo-passo:
- Coeff. della riga
n = 4:1, 4, 6, 4, 1. - Sviluppiamo la struttura con i segni alternati (perché c'è un segno meno):
•+ 1 · (2x)⁴ · (y)⁰ = 16x⁴
•- 4 · (2x)³ · (y)¹ = -4 · 8x³ · y = -32x³y
•+ 6 · (2x)² · (y)² = +6 · 4x² · y² = +24x²y²
•- 4 · (2x)¹ · (y)³ = -4 · 2x · y³ = -8xy³
•+ 1 · (2x)⁰ · (y)⁴ = +1 · 1 · y⁴ = +y⁴
🎯 Risultato finale: 16x⁴ - 32x³y + 24x²y² - 8xy³ + y⁴