I Tre Casi Possibili
Dato un piano con una circonferenza e una retta, confrontando la distanza del centro \(C\) dalla retta (\(d\)) con il raggio (\(r\)), oppure analizzando il delta (\(\Delta\)) del sistema associato, si distinguono tre posizioni reciproche:
- Retta Secante: La retta interseca la circonferenza in 2 punti distinti (\(d < r\) oppure \(\Delta > 0\)).
- Retta Tangente: La retta tocca la circonferenza in 1 solo punto in comune, detto punto di tangenza (\(d = r\) oppure \(\Delta = 0\)).
- Retta Esterna: La retta non ha punti in comune con la circonferenza (\(d > r\) oppure \(\Delta < 0\)).
Retta Secante
Due punti d'intersezione (\(\Delta > 0\)).
Retta Tangente
Un solo punto in comune (\(\Delta = 0\)).
Retta Esterna
Nessun punto in comune (\(\Delta < 0\)).
Confronto tra la distanza \(d\) del centro dalla retta e il raggio \(r\):
$$d < r \text{ (secante)} \quad | \quad d = r \text{ (tangente)} \quad | \quad d > r \text{ (esterna)}$$
Il Metodo Algebrico (Sistema)
Per determinare la posizione o trovare eventuali punti di intersezione, si mette a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta:
- Si ricava una variabile (es. \(y\)) dall'equazione della retta.
- Si sostituisce nell'equazione della circonferenza ottenendo un'equazione di secondo grado nella sola \(x\).
- Si calcola il discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
- \(\Delta > 0 \implies\) 2 soluzioni reali distinte (Secante)
- \(\Delta = 0 \implies\) 2 soluzioni coincidenti (Tangente)
- \(\Delta < 0 \implies\) Nessuna soluzione reale (Esterna)
📝 Esercizio Esempio Guidato
Determina la posizione della retta \(y = x + 1\) rispetto alla circonferenza \(x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0\).
Svolgimento:
- Mettiamo a sistema e sostituiamo \(y = x + 1\) nella circonferenza: $$x^2 + (x + 1)^2 - 2x - 3 = 0$$
- Sviluppiamo i calcoli: $$x^2 + x^2 + 2x + 1 - 2x - 3 = 0 \implies 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0$$
- Calcoliamo il \(\Delta\) o risolviamo direttamente: \(x^2 = 1 \implies x = \pm 1\). Avendo due soluzioni reali distinte (\(\Delta > 0\)), la retta è secante.
🎯 Risultato: La retta è secante (punti di intersezione in \(x = 1\) e \(x = -1\)).