Il Metodo Algebrico: Il Sistema Risolvente
Per studiare la posizione reciproca tra una retta di equazione \(y = mx + q\) e una parabola di equazione \(y = ax^2 + bx + c\), si imposta un sistema non lineare uguagliando le due espressioni della \(y\):
Portando tutti i termini a sinistra si ottiene l'equazione risolvente di secondo grado in forma normale:
Analizzando il discriminante \(\Delta\) di questa equazione risolvente, possiamo classificare la posizione geometrica della retta rispetto alla parabola in tre categorie fondamentali:
- \(\Delta > 0\) (Retta Secante): La retta interseca la parabola in due punti distinti. Il sistema ammette due soluzioni reali e distinte.
- \(\Delta = 0\) (Retta Tangente): La retta tocca la parabola in un solo punto (punto di tangenza). Il sistema ammette due soluzioni coincidenti.
- \(\Delta < 0\) (Retta Esterna): La retta non ha punti in comune con la parabola. Il sistema non ammette soluzioni reali.
\(\Delta > 0\) (Secante)
2 punti d'intersezione.
\(\Delta = 0\) (Tangente)
1 punto di contatto.
\(\Delta < 0\) (Esterna)
Nessun punto in comune.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Determina la posizione reciproca tra la parabola \(y = x^2 - 4x + 3\) e la retta \(y = 2x - 6\). Calcola eventuali punti di intersezione.
Svolgimento:
- Mettiamo a sistema uguagliando le equazioni: $$x^2 - 4x + 3 = 2x - 6$$
- Portiamo tutto a sinistra in forma normale: $$x^2 - 4x - 2x + 3 + 6 = 0 \implies x^2 - 6x + 9 = 0$$
- Calcoliamo il discriminante (\(\Delta\)): $$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$$
- Poiché \(\Delta = 0\), la retta è tangente alla parabola.
- Risolviamo l'equazione risolvente per trovare l'ascissa del punto di contatto: $$x = \frac{6}{2(1)} = 3$$
- Sostituiamo \(x = 3\) nell'equazione della retta per trovare \(y\): $$y = 2(3) - 6 = 6 - 6 = 0 \implies \text{Punto di tangenza: } T(3, 0)$$
🎯 Risultato: Retta tangente nel punto \(T(3, 0)\).