1. Polinomio Omogeneo
Un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini (i monomi che lo compongono) hanno lo stesso identico grado complessivo.
3x³ - 5x²y + 2xy²- Grado di
3x³ = 3- Grado di
-5x²y = 2 + 1 = 3- Grado di
2xy² = 1 + 2 = 3→ Tutti i termini hanno grado 3: il polinomio è omogeneo di grado 3.
2. Polinomio Ordinato
Un polinomio si dice ordinato rispetto a una determinata variabile se i suoi termini sono disposti in modo che gli esponenti di quella lettera siano in ordine rigorosamente crescente o decrescente.
- Ordine decrescente: dagli esponenti più alti a quelli più bassi (es.
4x³ - 2x² + 5x - 1). - Ordine crescente: dagli esponenti più bassi a quelli più alti (es.
-1 + 5x - 2x² + 4x³).
3. Polinomio Completo
Un polinomio si dice completo rispetto a una variabile se contiene tutte le potenze di quella lettera, dal grado massimo fino allo zero (ovvero fino al termine noto o alla potenza con esponente 0).
2x³ - 4x² + x - 7 è completo rispetto a x perché contiene gli esponenti 3, 2, 1 e 0 (il termine noto).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Analizza il seguente polinomio: P(x, y) = 5x⁴ - 3x³y + 2x²y² - xy³. Stabilisci se è omogeneo, ordinato e completo rispetto alla variabile x.
Risoluzione passo-passo:
- Omogeneità: calcoliamo i gradi dei singoli monomi:
4,3+1=4,2+2=4,1+3=4. I gradi sono tutti pari a 4, quindi il polinomio è omogeneo di grado 4. - Ordinamento risp. a x: gli esponenti della x nei termini sono rispettivamente
4, 3, 2, 1. Risultano decrescenti, quindi il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti di x. - Completezza risp. a x: rispetto a x manca il termine con
x⁰(ovvero il termine in sola y⁴ o numerico puro), dunque rispetto alla sola variabile x non è completo (manca il grado 0 in x).
🎯 Verdetto: Omogeneo di grado 4; Ordinato decrescente risp. a x; Non completo risp. a x.