1. Definizione e Operatori di Estrazione
Dato un numero complesso scritto in forma algebrica z = a + ib (con a, b ∈ R), le sue componenti fondamentali assumono nomi ben precisi definiti tramite operatori lineari:
- Parte Reale
Re(z): È il numero realeache non contiene l'unità immaginariai. - Parte Immaginaria
Im(z): È il coefficiente realebche moltiplica l'unità immaginariai(attenzione: non comprende la letterai). - Uguaglianza tra Numeri Complessi: Due numeri complessi
z1 = a1 + ib1ez2 = a2 + ib2sono uguali se e solo se sono uguali separatamente le loro parti reali e le loro parti immaginarie:a1 = a2eb1 = b2.
2. Proprietà e Casi Particolari
L'analisi di Re(z) e Im(z) consente di classificare istantaneamente la natura geometrica e algebrica del numero nel piano complesso (di Argand-Gauss):
- Se
Im(z) = 0, allorazè un numero reale puro (giace sull'asse delle ascisse). - Se
Re(z) = 0eIm(z) ≠ 0, allorazè un numero immaginario puro (giace sull'asse delle ordinate). - Il numero complesso nullo
z = 0 + 0iha sia parte reale che parte immaginaria nulle.
📐 Esempio Pratico di Estrazione:
Dato il numero complesso z = -4 + 7i:
• La parte reale è Re(z) = -4.
• La parte immaginaria è Im(z) = 7 (nota bene: senza la i).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Trova i valori reali di x e y tali per cui vale l'uguaglianza complessa: (2x - 1) + 3iy = 5 - 6i.
Risoluzione passo-passo:
- Uguagliamo le parti reali dei due membri:
2x - 1 = 5. - Risolviamo l'equazione di primo grado in
x:2x = 6 ⇒ x = 3. - Uguagliamo le parti immaginarie dei due membri:
3y = -6. - Risolviamo l'equazione in
y:y = -2.
🎯 Soluzione: x = 3, y = -2