Definizione di Parabola
Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco (\(F\)) e da una retta fissa detta direttrice (\(d\)).
Prendendo un generico punto \(P(x, y)\) appartenente alla parabola, la proprietà fondamentale che lo caratterizza è:
$$\overline{PF} = \overline{PH}$$ (dove \(H\) è la proiezione ortogonale del punto \(P\) sulla retta direttrice \(d\)).
Rappresentazione Geometrica (Fuoco, Direttrice e Punto \(P\))
Per ogni punto \(P\) della curva, la distanza da \(F\) è sempre uguale alla distanza da \(H\) (\(\overline{PF} = \overline{PH}\)).
Dall'Equazione al Luogo (e Viceversa)
Impostando l'uguaglianza tra le distanze con la formula algebrica nel piano cartesiano (\(\sqrt{(x - x_F)^2 + (y - y_F)^2} = |y - y_d|\)) ed elevando al quadrato, si ricava l'equazione canonica della parabola con asse parallelo all'asse \(y\):
- Se \(a > 0\): La parabola volge la concavità verso l'alto (\(\cup\)).
- Se \(a < 0\): La parabola volge la concavità verso il basso (\(\cap\)).
- Coordinate del Fuoco: \(F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a}\right)\)
- Equazione della Direttrice: \(y = -\frac{1 + \Delta}{4a}\)
📝 Esercizio Esempio Guidato
Scrivi l'equazione della parabola avente fuoco \(F(0, 1)\) e direttrice \(y = -1\).
Svolgimento:
- Applichiamo la condizione geometrica del luogo \(\overline{PF} = \overline{PH}\) per un punto generico \(P(x, y)\): $$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = |y - (-1)| \implies \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = y + 1$$
- Elehiamo entrambi i membri al quadrato per eliminare la radice: $$x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2$$
- Sviluppiamo i prodotti notevoli: $$x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1$$
- Semplifichiamo \(y^2\) e \(1\) da entrambi i lati e isoliamo \(y\): $$x^2 - 2y = 2y \implies 4y = x^2 \implies y = \frac{1}{4}x^2$$
🎯 Risultato: L'equazione della parabola è \(y = \frac{1}{4}x^2\).