1. Parabola con Asse Verticale (parallelo all'asse \(y\))
L'equazione generale di una parabola con asse di simmetria verticale è:
$$y = ax^2 + bx + c \quad (con \ a \neq 0)$$
- Vertice: \(V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)\)
- Asse di simmetria: \(x = -\frac{b}{2a}\)
- Fuoco: \(F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a}\right)\)
- Direttrice: \(y = -\frac{1 + \Delta}{4a}\)
2. Parabola con Asse Orizzontale (parallelo all'asse \(x\))
Scambiando il ruolo delle variabili \(x\) e \(y\), otteniamo una parabola ad asse orizzontale, che volge la concavità verso destra o sinistra:
$$x = ay^2 + by + c \quad (con \ a \neq 0)$$
- Vertice: \(V\left(-\frac{\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
- Asse di simmetria: \(y = -\frac{b}{2a}\)
- Fuoco: \(F\left(\frac{1 - \Delta}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
- Direttrice: \(x = -\frac{1 + \Delta}{4a}\)
Asse Verticale (\(y = ax^2...\))
Concavità verso l'alto o il basso.
Asse Orizzontale (\(x = ay^2...\))
Concavità verso destra o sinistra.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Trova il vertice e l'asse della parabola orizzontale \(x = 2y^2 - 4y + 1\).
Svolgimento:
- Identifichiamo i coefficienti: \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 1\).
- Calcoliamo il delta (\(\Delta = b^2 - 4ac\)): $$\Delta = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$$
- Calcoliamo la coordinata \(y_V\) del vertice (\(-\frac{b}{2a}\)): $$y_V = -\frac{-4}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1$$
- Calcoliamo la coordinata \(x_V\) del vertice (\(-\frac{\Delta}{4a}\)): $$x_V = -\frac{8}{4(2)} = -\frac{8}{8} = -1$$
🎯 Risultato: Vertice \(V(-1, 1)\) e asse di simmetria orizzontale \(y = 1\).