1. Prodotto e Quoziente in Forma Trigonometrica
Siano dati due numeri complessi scritti in forma trigonometrica z1 = r1(cos(θ1) + i sin(θ1)) e z2 = r2(cos(θ2) + i sin(θ2)):
- Prodotto: I moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano:
z1 · z2 = r1r2 · [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]. - Quoziente: I moduli si dividono e gli argomenti si sottraggono:
z1 / z2 = r1 / r2 · [cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)](conr2 ≠ 0).
2. La Formula di De Moivre per le Potenze
Per calcolare la potenza n-esima di un numero complesso in forma trigonometrica si utilizza la potente Formula di De Moivre:
Geometricamente, elevare un numero complesso alla potenza n significa elevare la sua distanza dall'origine a rn e moltiplicare il suo angolo di rotazione per n.
Calcoliamo z3 per z = 2 · (cos(π / 6) + i sin(π / 6)):
• Eleviamo il modulo al cubo: r3 = 23 = 8.
• Moltiplichiamo l'argomento per 3: 3 · (π / 6) = π / 2.
• Risultato: z3 = 8 · (cos(π / 2) + i sin(π / 2)) = 8i.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola il prodotto tra z1 = 3(cos(π/3) + i sin(π/3)) e z2 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)).
Risoluzione passo-passo:
- Moltiplichiamo i moduli:
r1 · r2 = 3 · 2 = 6. - Sommiamo gli argomenti:
θ1 + θ2 = π / 3 + π / 6 = 2π + π / 6 = 3π / 6 = π / 2. - Assembliamo il risultato trigonometrico:
6 · (cos(π / 2) + i sin(π / 2)).
🎯 Risultato: 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 6i