1. Addizione e Sottrazione di Radicali Simili
Due o più radicali si dicono **simili** se hanno lo **stesso indice** e lo **stesso radicando**.
È possibile sommare o sottrarre **solo** radicali simili, raccogliendo a fattor comune la parte radicale e sommando i rispettivi coefficienti numerici:
$$a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} = (a + b)\sqrt[n]{x}$$
⚠️ Errore Comune: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$.
Ad esempio, $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, mentre $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ad esempio, $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, mentre $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
2. Moltiplicazione e Divisione con lo Stesso Indice
Se due radicali hanno lo **stesso indice**, il loro prodotto (o quoziente) è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto (o quoziente) dei radicandi:
$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \qquad \text{e} \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$
3. Moltiplicazione e Divisione con Indici Diversi
Se i radicali hanno indici **diversi**, prima di eseguire la moltiplicazione o la divisione occorre **ridurli al minimo comune indice (m.c.i.)**.
$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[I]{a^{I/n} \cdot b^{I/m}} \quad \text{con } I = \text{m.c.m.}(n, m)$$
4. Potenza di un Radicale
Per elevare un radicale ad una potenza $k$, basta elevare a $k$ il suo radicando:
$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}$$
📝 Esempi Guidati
- Somma di radicali simili: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3 + 5 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
- Moltiplicazione (stesso indice): $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$.
- Moltiplicazione (indici diversi): $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}$
$\text{m.c.m.}(2, 3) = 6 \implies \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{2^3 \cdot 2^2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32}$.