1. Le Quattro Operazioni nell'Insieme C
Siano dati due numeri complessi in forma algebrica z1 = a + ib e z2 = c + id. Le operazioni aritmetiche si definiscono estendendo le regole del calcolo algebrico ordinario e sfruttando la condizione fondamentale i2 = -1.
- Somma:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). - Sottrazione:
(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d). - Moltiplicazione:
(a + ib) · (c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc). - Divisione: Si esegue moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per il numero complesso coniugato del denominatore
c - id, razionalizzando quest'ultimo in modo da ottenere un numero reale al denominatore:a + ib / c + id = (a + ib)(c - id) / (c + id)(c - id) = (ac + bd) + i(bc - ad) / c2 + d2.
Calcoliamo il quoziente z = 3 + i / 1 - i:
• Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore 1 + i.
• Numeratore: (3 + i)(1 + i) = 3 + 3i + i + i2 = 3 + 4i - 1 = 2 + 4i.
• Denominatore: (1 - i)(1 + i) = 12 - i2 = 1 - (-1) = 2.
• Risultato finale: 2 + 4i / 2 = 1 + 2i.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola il prodotto tra i numeri complessi z1 = 2 - 3i e z2 = 4 + 5i.
Risoluzione passo-passo:
- Applichiamo la proprietà distributiva:
(2 - 3i)(4 + 5i) = 2 · 4 + 2 · (5i) - 3i · 4 - 3i · (5i). - Sviluppiamo i prodotti intermedi:
8 + 10i - 12i - 15i2. - Sostituiamo
i2 = -1nel termine noto:8 - 2i - 15(-1) = 8 - 2i + 15. - Sommiamo i termini simili reali:
(8 + 15) - 2i = 23 - 2i.
🎯 Risultato finale: 23 - 2i