1. Il Numero Complesso Coniugato
Dato un numero complesso in forma algebrica z = a + ib, si definisce suo coniugato (indicato con il simbolo z̄ o z*) il numero complesso ottenuto cambiando di segno alla parte immaginaria:
- Definizione:
z̄ = a - ib. - Proprietà geometrica: Nel piano di Argand-Gauss, il coniugato
z̄rappresenta il punto simmetrico dizrispetto all'asse delle ascisse (asse reale). - Prodotto notevole: Il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato dà sempre un numero reale non negativo pari al quadrato del suo modulo:
z · z̄ = a2 + b2.
2. Il Modulo di un Numero Complesso
Il modulo (o valore assoluto) di un numero complesso z = a + ib è un numero reale non negativo che misura la distanza del punto (a, b) dall'origine degli assi nel piano complesso.
- Definizione:
|z| = √(a2 + b2). - Il modulo estende il concetto di valore assoluto dei numeri reali ed è sempre maggiore o uguale a zero (
|z| ≥ 0), annullandosi solo sez = 0.
Dato il numero complesso z = 3 - 4i:
• Il suo coniugato è z̄ = 3 + 4i.
• Il suo modulo è |z| = √(32 + (-4)2) = √(9 + 16) = √25 = 5.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola il modulo del numero complesso z = 5 + 12i e verifica che z · z̄ = |z|2.
Risoluzione passo-passo:
- Calcoliamo il modulo:
|z| = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13. - Eleviamo al quadrato il modulo:
|z|2 = 132 = 169. - Calcoliamo il prodotto tra
z = 5 + 12ie il suo coniugatoz̄ = 5 - 12i:
(5 + 12i)(5 - 12i) = 52 - (12i)2 = 25 - 144( -1) = 25 + 144 = 169. - L'uguaglianza è verificata:
z · z̄ = |z|2 = 169.
🎯 Risultato: Modulo = 13, Verifica Convalidata