1. Definizioni di Base: Primo vs Composto
Nel mondo dei numeri naturali maggiori di 1 (n > 1), ogni numero appartiene a una di queste due categorie:
-
Numero Primo: Un numero intero maggiore di 1 che ammette soltanto due divisori distinti: 1 e se stesso.
I primi dieci numeri primi sono:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. -
Numero Composto: Un numero intero maggiore di 1 che ammette più di due divisori (ovvero almeno un divisore oltre a 1 e se stesso). Esempi:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, ... -
I casi particolari 0 e 1: Il numero
1ha un solo divisore (se stesso), quindi non è né primo né composto. Il numero0ha infiniti divisori, dunque anch'esso non appartiene a nessuna delle due categorie.
💡 Proprietà Fondamentale: Il numero 2 è l'unico numero primo pari. Qualsiasi altro numero pari maggiore di 2 è divisibile per 2 ed è quindi composto.
2. Il Crivello di Eratostene
Il Crivello di Eratostene è un antico algoritmo ideato dal matematico greco Eratostene per trovare tutti i numeri primi fino a un determinato limite N.
- Si scrivono in griglia i numeri da 2 a N.
- Si evidenzia il 2 (primo numero primo) e si cancellano tutti i suoi multipli (4, 6, 8, 10...).
- Si passa al numero successivo non cancellato (il 3) e si elidono tutti i suoi multipli.
- Si ripete il procedimento finché non si raggiunge la radice quadrata di N. I numeri rimasti sono tutti numeri primi.
📝 Esercizio Esempio Guidato #1 (Identificare un numero primo)
Testo: Stabilisci se il numero 37 è primo o composto verificando i suoi divisori.
Risoluzione passo-passo:
- Calcoliamo la radice quadrata approssimata di 37:
√37 ≈ 6,08. - Dobbiamo controllare la divisibilità solo per i numeri primi minori o uguali a 6, cioè: 2, 3 e 5.
- 37 è dispari → non è divisibile per 2.
- La somma delle cifre (
3 + 7 = 10) non è multiplo di 3 → non è divisibile per 3. - L'ultima cifra non è né 0 né 5 → non è divisibile per 5.
🎯 Risultato finale: Non avendo divisori tra 2 e 6, 37 è un Numero Primo (i suoi unici divisori sono 1 e 37).
3. Numeri Primi tra Loro (Coprimi)
Due numeri interi si dicono primi tra loro (o coprimi o relativamente primi) se il loro unico divisore comune è il numero 1.
- Importante: Due numeri non devono per forza essere numeri primi per essere primi tra loro! Ad esempio
8(composto) e9(composto) non hanno divisori comuni tranne 1, quindi 8 e 9 sono primi tra loro.
📝 Esercizio Esempio Guidato #2 (Coprimolarità)
Testo: Determina se i numeri 14 e 25 sono primi tra loro.
Risoluzione passo-passo:
- Elenchiamo i divisori di 14:
D(14) = {1, 2, 7, 14}. - Elenchiamo i divisori di 25:
D(25) = {1, 5, 25}. - Confrontiamo i divisori in comune: l'unico numero presente in entrambi gli insiemi è 1.
🎯 Risultato finale: 14 e 25 sono primi tra loro.