I Sistemi di Misura degli Angoli
In goniometria un angolo orientato può essere misurato principalmente attraverso due unità di misura: i gradi sessagesimali e i radianti.
- Gradi Sessagesimali (\(^\circ\)): L'angolo giro viene suddiviso in \(360\) parti uguali. Ciascuna parte è un grado. Ogni grado si divide in \(60\) primi (\('\)) e ogni primo in \(60\) secondi (\(''\)).
- Radianti (\(\text{rad}\)): Un radiante è l'ampiezza di un angolo al centro che intercetta sulla circonferenza un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza stessa.
🎯 Relazione Fondamentale e Conversioni
L'angolo giro misura \(360^\circ\) oppure \(2\pi\) radianti. Da ciò deriva la relazione fondamentale di proporzionalità:
Le formule inverse per convertire le unità sono:
• Da gradi a radianti: \(\alpha_{\text{rad}} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\)
• Da radianti a gradi: \(\alpha^\circ = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\)
Tabella degli Angoli Notevoli
Di seguito sono riassunti i principali angoli notevoli convertiti tra i due sistemi di misura:
| Gradi (\(^\circ\)) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianti | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
📝 Esempio Guidato di Conversione
Convertire l'angolo di \(135^\circ\) in radianti.
Svolgimento:
- Applichiamo la formula di conversione moltiplicando per \(\frac{\pi}{180^\circ}\):
$$\alpha_{\text{rad}} = 135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$$
- Semplifichiamo numeratore e denominatore dividendo entrambi per il loro massimo comun divisore (\(45\)):
$$\frac{135}{45} = 3 \quad \text{e} \quad \frac{180}{45} = 4 \implies \frac{3\pi}{4}$$
🎯 Risultato: L'angolo misura \(\frac{3\pi}{4}\) radianti.