1. Come Funziona il Metodo di Cramer?
Il metodo di Cramer è un procedimento algebrico basato sul calcolo dei determinanti che permette di risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite in modo meccanico e rapido. Dato un sistema ridotto in forma normale:
$$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$$
I passaggi chiave per applicare il metodo sono:
- Calcolo del determinante principale (\(D\)): Si costruisce con i coefficienti delle incognite \(x\) e \(y\): $$D = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = (a \cdot b') - (b \cdot a')$$ Se \(D \neq 0\), il sistema è determinato e ammette un'unica soluzione.
- Calcolo del determinante rispetto a \(x\) (\(D_x\)): Si sostituisce la colonna dei termini noti (\(c, c'\)) al posto della colonna della \(x\): $$D_x = \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = (c \cdot b') - (b \cdot c')$$
- Calcolo del determinante rispetto a \(y\) (\(D_y\)): Si sostituisce la colonna dei termini noti al posto della colonna della \(y\): $$D_y = \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = (a \cdot c') - (c \cdot a')$$
- Determinazione delle soluzioni: Le incognite si ricavano dividendo i rispettivi determinanti per il determinante principale: $$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}$$
Esempio pratico:
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} \implies D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3$$
$$D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -7 - 2 = -9 \implies x = \frac{-9}{-3} = 3$$
$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 7 = -3 \implies y = \frac{-3}{-3} = 1$$