1. Definizione e Condizioni di Esistenza (C.E.)
Il logaritmo in base a di un numero b è l'esponente c a cui bisogna elevare la base a per ottenere l'argomento b. Si scrive loga(b) = c ⇔ ac = b.
Affinché un'espressione logaritmica abbia significato nel campo reale, bisogna imporre rigorose Condizioni di Esistenza (C.E.):
- Argomento strettamente positivo: L'argomento
bdeve essere sempre maggiore di zero:b > 0. - Base positiva: La base
adeve essere strettamente maggiore di zero:a > 0. - Base diversa da uno: La base
adeve essere diversa da1:a ≠ 1.
2. Le Proprietà Operative dei Logaritmi
Le proprietà algebriche fondamentali derivano direttamente dalle regole delle potenze:
- Logaritmo di un prodotto:
loga(x · y) = loga(x) + loga(y) - Logaritmo di un quoziente:
loga(x / y) = loga(x) - loga(y) - Logaritmo di una potenza:
loga(xk) = k · loga(x) - Formula del cambiamento di base:
loga(b) = logc(b) / logc(a)
Determinare il campo di esistenza di f(x) = log2(x - 3) + logx(5 - x):
• Per il primo logaritmo: x - 3 > 0 ⇒ x > 3.
• Per il secondo logaritmo: argomento 5 - x > 0 ⇒ x < 5, base x > 0 e x ≠ 1.
• Mettendo a sistema tutte le condizioni: 3 < x < 5.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Trova le condizioni di esistenza e semplifica l'espressione: log2(x2 - 4) - log2(x - 2).
Risoluzione passo-passo:
- Impostiamo le C.E. ponendo ogni argomento strettamente maggiore di zero:
•x2 - 4 > 0 ⇒ x < -2oppurex > 2.
•x - 2 > 0 ⇒ x > 2.
L'intersezione delle condizioni ci dà il dominio complessivo:x > 2. - Scomponiamo l'argomento del primo logaritmo come differenza di quadrati:
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2). - Applichiamo la proprietà del logaritmo del prodotto:
log2(x - 2) + log2(x + 2) - log2(x - 2). - Semplifichiamo i termini opposti e otteniamo il risultato finale:
log2(x + 2).
🎯 Risultato: log2(x + 2) con C.E. x > 2