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Matematica / Analisi Matematica

Limite Infinito all'Infinito

Studio del comportamento di una funzione quando la variabile indipendente cresce o decresce illimitatamente (\(x \to \pm\infty\)) e anche i valori della funzione divergono a più o meno infinito (\(\pm\infty\)).

Definizione e Significato Geometrico

Si dice che la funzione \(f(x)\) ha per limite più infinito per \(x\) che tende a più infinito, e si scrive \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), se comunque si scelga un numero reale positivo grande \(M\), esiste un valore oltre il quale i valori della funzione superano \(M\).

Definizione formale (\(M\)-\(M\)):

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, \exists K > 0 \text{ tale che } \forall x > K \implies f(x) > M\)

📐 Interpretazione Geometrica e Crescita

Geometricamente, indica che la funzione non si stabilizza su un asintoto orizzontale, ma cresce o decresce senza tregua all'aumentare o al diminuire di \(x\). Spesso apre la strada allo studio degli asintoti obliqui.

✏️ Esercizi Guidati sul Limite Infinito all'Infinito

Sezione di esercizi pratici suddivisi per livello di difficoltà con risoluzione passo-passo.

Esercizio 1

FACILE

Calcola il limite di un polinomio semplice: \(\lim_{x \to +\infty} (3x^2 + 5)\).

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🎯 Risultato finale: \(+\infty\)

Per \(x \to +\infty\), il termine di grado massimo \(3x^2\) domina incontrastato, portando l'espressione a più infinito.

Esercizio 2

FACILE

Calcola il limite con coefficiente negativo: \(\lim_{x \to +\infty} (-2x^2 + 10)\).

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🎯 Risultato finale: \(-\infty\)

Il termine di grado massimo ha segno negativo (\(-2x^2\)) e domina sull'additivo costante, facendo divergere il limite a \(-\infty\).

Esercizio 3

FACILE

Calcola il limite di una potenza con esponente dispari: \(\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 4x)\).

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🎯 Risultato finale: \(-\infty\)

Il termine cubico \(x^3\) prevale per \(x \to -\infty\), risultando negativo e portando il limite a \(-\infty\).

Esercizio 4

MEDIO

Calcola il limite di una funzione razionale fratta: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 5x}{x + 1}\).

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🎯 Risultato finale: \(+\infty\)

Il numeratore ha grado superiore rispetto al denominatore (\(2 > 1\)), quindi il rapporto diverge a \(+\infty\).

Esercizio 5

MEDIO

Calcola il limite con radice quadrata: \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 3x + 1}\).

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🎯 Risultato finale: \(+\infty\)

Raccogliendo \(x^2\) sotto radice si ottiene \(|x|\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}\), che per \(x \to +\infty\) tende a \(+\infty\).

Esercizio 6

DIFFICILE

Calcola il limite con crescita esponenziale: \(\lim_{x \to +\infty} \left( 2^x - 100x^3 \right)\).

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🎯 Risultato finale: \(+\infty\)

L'esponenziale cresce molto più rapidamente di qualsiasi potenza algebrica (gerarchia degli infiniti), determinando un risultato pari a \(+\infty\).

Esercizio 7

DIFFICILE

Calcola il limite con logaritmo e potenza: \(\lim_{x \to +\infty} \left( x - \ln(5x) \right)\).

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🎯 Risultato finale: \(+\infty\)

La funzione potenza \(x\) è un infinito di ordine superiore rispetto al logaritmo \(\ln(x)\), perciò prevale il termine lineare positivo.