Definizione Analitica e Geometrica del Limite Finito in un Punto
Il concetto di limite finito al finito esprime l'idea che, man mano che la variabile indipendente \(x\) si avvicina a un valore reale \(x_0\), i valori assunti dalla funzione \(f(x)\) si concentrano attorno a un numero reale \(l\).
Definizione Formale (\(\varepsilon, \delta\)):
Si dice che il limite di \(f(x)\), per \(x\) che tende a \(x_0\), è uguale a \(l\) (\(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\)) se:
$$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 \quad \text{tale che} \quad \forall x \in D, \ 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - l| < \varepsilon$$- Significato di \(\varepsilon\) (intorno di \(l\)): Rappresenta la tolleranza verticale sull'asse delle ordinate (\(l - \varepsilon < f(x) < l + \varepsilon\)).
- Significato di \(\delta\) (intorno di \(x_0\)): Rappresenta l'ampiezza dell'intorno circolare sull'asse delle ascisse (\(x_0 - \delta < x < x_0 + \delta\) con \(x \neq x_0\)).
📝 Esempio Guidato (Verifica di Limite)
Verifica mediante la definizione che \(\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5\).
- Impostazione della disequazione: Poniamo \(|(3x - 1) - 5| < \varepsilon\).
- Semplificazione algebrica: $$|3x - 6| < \varepsilon \implies 3|x - 2| < \varepsilon \implies |x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$$
- Conclusione: Avendo trovato un intorno \(\delta = \frac{\varepsilon}{3}\) dipendente da \(\varepsilon\) tale che per ogni \(x\) nell'intorno di \(2\) la disuguaglianza è verificata, il limite è corretto.