Cos'è un'Iperbole Traslata?
Finora abbiamo analizzato l'iperbole con il centro posizionato nell'origine \(O(0, 0)\). Se applichiamo una traslazione del piano di vettori \(x_0\) e \(y_0\), il centro dell'iperbole si sposta nel punto \(C(x_0, y_0)\).
Questa trasformazione modifica l'equazione canonica introducendo i binomi sottratti alle coordinate \(x\) e \(y\).
📐 Equazione dell'Iperbole Traslata
L'equazione di un'iperbole traslata con assi paralleli agli assi cartesiani è data da:
Il centro di simmetria dell'iperbole non è più l'origine, ma il punto \(C(x_0, y_0)\). Anche i vertici, i fuochi e gli asintoti subiscono la stessa traslazione.
Proprietà Geometriche Principali
Conoscendo il centro \(C(x_0, y_0)\) e i parametri \(a\) e \(b\), possiamo ricavare facilmente tutti gli elementi chiave:
- Centro di simmetria: \(C(x_0, y_0)\).
- Vertici reali: Si trovano aggiungendo e sottraendo \(a\) all'ascissa del centro \(\rightarrow V_{1,2}(x_0 \pm a, y_0)\).
- Semi-distanza focale (\(c\)): Calcolata sempre come \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), con fuochi coordinati in \(F_{1,2}(x_0 \pm c, y_0)\).
- Asintoti traslati: Le rette passanti per il nuovo centro \(C\) aventi equazione:
$$y - y_0 = \pm \frac{b}{a}(x - x_0)$$
📝 Esempio Guidato
Data l'iperbole traslata \(\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y - 1)^2}{16} = 1\), determinare il centro di simmetria, i vertici reali e gli asintoti.
Svolgimento:
- Dal confronto con l'equazione generale ricaviamo il centro \(x_0 = 2\) e \(y_0 = 1\), quindi \(C(2, 1)\).
- Ricaviamo i semiassi: \(a^2 = 9 \implies a = 3\) e \(b^2 = 16 \implies b = 4\).
- Vertici reali: \(V_{1}(2 - 3, 1) = (-1, 1)\) e \(V_{2}(2 + 3, 1) = (5, 1)\).
- Asintoti: Utilizzando la formula \(y - 1 = \pm \frac{4}{3}(x - 2)\), sviluppando otteniamo le due rette:
$$y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3} \quad \text{e} \quad y = -\frac{4}{3}x + \frac{11}{3}$$
🎯 Risultato: Centro \(C(2, 1)\), Vertici in \((-1, 1)\) e \((5, 1)\).