Cos'è un'Iperbole Equilatera?
Un'iperbole si dice equilatera quando i suoi semiassi reale e immaginario hanno la stessa lunghezza, ovvero \(a = b\).
Questa particolarità geometrica conferisce all'iperbole una simmetria straordinaria: i suoi asintoti sono perpendicolari tra loro (formano cioè un angolo di 90 gradi).
📐 Equazione Riferita ai Propri Assi
Ponendo \(a = b\) nell'equazione canonica, i denominatori diventano uguali. Dividendo per \(a^2\) otteniamo:
Gli asintoti in questo caso assumono equazioni particolarmente semplici: \(y = x\) e \(y = -x\) (la bisettrice del primo/terzo quadrante e del secondo/quarto quadrante). L'eccentricità è fissa ed è pari a \(e = \sqrt{2} \approx 1.41\).
L'Iperbole Riferita ai Propri Asintoti
Se ruotiamo gli assi cartesiani di 45 gradi in modo che coincidano con gli asintoti dell'iperbole equilatera, l'equazione assume una forma algebrica elementare legata alla proporzionalità inversa:
In questa rappresentazione:
- Se \(k > 0\), i rami dell'iperbole si trovano nel primo e nel terzo quadrante.
- Se \(k < 0\), i rami dell'iperbole si trovano nel secondo e nel quarto quadrante.
- Gli assi cartesiani stessi fungono da asintoti.
📝 Esempio Guidato
Data l'iperbole equilatera di equazione \(x^2 - y^2 = 9\), determinare i vertici, l'eccentricità e le equazioni degli asintoti.
Svolgimento:
- Dal confronto con l'equazione \(x^2 - y^2 = a^2\) ricaviamo \(a^2 = 9\), da cui \(a = 3\). Poiché \(a = b\), si tratta di un'iperbole equilatera con \(b = 3\).
- Vertici reali: \(V_1(-3, 0)\) e \(V_2(3, 0)\).
- Eccentricità: Essendo equilatera, l'eccentricità è fissa: \(e = \sqrt{2}\).
- Asintoti: Derivano dalla formula \(y = \pm \frac{b}{a}x\). Poiché \(a = b = 3\), otteniamo:
$$y = x \quad \text{e} \quad y = -x$$
🎯 Risultato: Vertici in \((\pm 3, 0)\), Eccentricità \(e = \sqrt{2}\), Asintoti \(y = \pm x\).