1. Il Metodo algebrico: Sistemi Lineari
Date due rette nel piano cartesiano descritte dalle equazioni r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, trovare il loro punto d'intersezione P(xP, yP) significa trovare la coppia di valori (x, y) che soddisfa contemporaneamente entrambe le equazioni.
Dal punto di vista operativo, si imposta e si risolve il sistema lineare associato:
{ a1x + b1y + c1 = 0
{ a2x + b2y + c2 = 0
2. Interpretazione geometrica e tipologie di soluzioni
A seconda dei coefficienti angolari m1 e m2 e dei termini noti, il sistema può presentare tre diverse casistiche:
- Rette incidenti (
m1 &neq; m2): Il sistema è determinato e ammette un'unica soluzione, che corrisponde alle coordinate esatte del punto d'intersezioneP(x, y). - Rette parallele distinte (
m1 = m2eq1 &neq; q2): Il sistema è impossibile, poiché le rette non si incontrano mai in alcun punto del piano. - Rette coincidenti (
m1 = m2eq1 = q2): Il sistema è indeterminato, poiché possiede infinite soluzioni in comune (tutti i punti della retta).
P tra due rette incidenti r e s.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola le coordinate del punto d'intersezione tra le rette r: y = 2x - 1 e s: y = -x + 5.
Risoluzione passo-passo:
- Impostiamo il sistema lineare uguagliando le due espressioni della
y(metodo del confronto):2x - 1 = -x + 5. - Risolviamo l'equazione di primo grado nell'incognita
x:2x + x = 5 + 1⇒3x = 6⇒x = 2. - Sostituiamo il valore di
x = 2in una delle due equazioni di partenza (ad esempio nella prima) per trovarey:y = 2(2) - 1⇒y = 4 - 1 = 3.
🎯 Risultato: Il punto d'intersezione è P(2, 3).