Formula Fondamentale
Il metodo di integrazione per parti deriva dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni. Data una funzione integranda che si presenta come il prodotto di due fattori \(f(x)\) e \(g'(x)\), la formula è:
\[\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx\]
In forma più sintetica, ponendo \(f(x) = u\) e \(g'(x) \, dx = dv\), la formula si esprime come:
\[\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du\]
💡 Criterio di Scelta del Fattore da Derivare (\(u\))
Per applicare con successo il metodo, bisogna assegnare la parte \(u\) e la parte \(dv\). Generalmente si segue la scala di priorità (regola LIATE):
- Logaritmiche (\(\ln x\))
- Inverse trigonometriche (\(\arctan x\), \(\arcsin x\))
- Algebriche o potenze (\(x^n\))
- Trigonometriche (\(\sin x\), \(\cos x\))
- Esponenziali (\(e^x\))
Si sceglie come \(u\) la funzione che compare per prima nella lista, in modo tale che la sua derivata semplifichi l'espressione algebrica.