Metodo dei Fratti Semplici
L'integrazione di una funzione razionale fratta \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) richiede anzitutto che il grado del polinomio numeratore \(P(x)\) sia inferiore al grado del denominatore \(Q(x)\). In caso contrario, si procede preventivamente con la divisione algebrica tra polinomi.
\[\int \frac{A}{x - x_1} \, dx = A \ln|x - x_1| + C\]
Se il denominatore è scomponibile in fattori lineari distinti \(Q(x) = (x - x_1)(x - x_2)\), la frazione si scompone nella somma di fratti semplici:
\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}\]
💡 Casi Principali di Scomposizione
- Fattori lineari distinti: Si pongono costanti numeriche al numeratore (\(A, B, \dots\)) sopra ciascun binomio di primo grado.
- Fattori lineari coincidenti (multipli): Per un fattore del tipo \((x - x_1)^k\), si inseriscono termini con potenze crescenti al denominatore: \(\frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x - x_1)^k}\).
- Fattori di secondo grado non riducibili (\(\Delta < 0\)): Al numeratore si impone un binomio di primo grado del tipo \(\frac{Bx + C}{ax^2 + bx + c}\).