1. L'Insieme dei Numeri Naturali (ℕ)
L'insieme ℕ rappresenta l'insieme dei numeri usati per contare:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
- Proprietà: È un insieme infinito, ordinato e dotato di un elemento minimo (lo
0). Ogni numero ha un successore. - Operazioni Interne: L'addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne (il risultato appartiene sempre a ℕ). La sottrazione e la divisione non sempre si possono eseguire in ℕ (es.
3 - 5o7 : 2non producono numeri naturali).
2. L'Insieme dei Numeri Interi Relativi (ℤ)
Per permettere l'operazione di sottrazione in ogni caso, nasce l'insieme dei numeri interi ℤ:
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}.
- Inclusione: Ogni numero naturale è anche un numero intero positivo (
ℕ ⊂ ℤ). - Proprietà: Introduce il concetto di valore assoluto (modulo) e di numero opposto (es. l'opposto di
+4è-4). - Operazioni Interne: Addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre interne a ℤ. La divisione non è sempre possibile.
📝 Esercizio Esempio Guidato #1 (Operazioni in ℤ)
Testo: Calcola il valore dell'espressione in ℤ: -7 + ( -3 ) × ( -4 ) - ( -10 ) : 2
Risoluzione passo-passo:
- Eseguiamo la moltiplicazione mantenendo la regola dei segni (
- × - = +):(-3) × (-4) = +12. - Eseguiamo la divisione:
(-10) : 2 = -5. - Sostituiamo nell'espressione:
-7 + 12 - (-5). - Rimuoviamo la parentesi ricordando che il meno davanti alla parentesi cambia segno:
-7 + 12 + 5. - Calcoliamo da sinistra verso destra:
-7 + 12 = 5→5 + 5 = 10.
🎯 Risultato finale: 10 ∈ ℕ ⊂ ℤ
3. L'Insieme dei Numeri Razionali (ℚ)
L'insieme ℚ nasce per consentire la divisione tra due qualsiasi numeri interi (con denominatore diverso da zero):
ℚ = { a / b | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0 }.
- Rappresentazione Decimale: I numeri razionali si trasformano in decimali finiti (es.
3/4 = 0,75) o decimali illimitati periodici (es.1/3 = 0,333... = 0,3̄). - Operazioni Interne: Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (tranne quella per zero) sono tutte operazioni interne a ℚ.
- Inclusione:
ℤ ⊂ ℚpoiché ogni interonsi può scrivere come frazionen/1.
4. Numeri Irrazionali (𝕀) e L'Insieme dei Numeri Reali (ℝ)
Esistono numeri che non possono essere scritti sotto forma di frazione, ovvero decimali illimitati non periodici. Questi costituiscono l'insieme dei numeri irrazionali 𝕀 (o ℝ \ ℚ), come ad esempio √2, √3, π (Pi Greco) o e (Numero di Eulero).
L'unione dell'insieme dei numeri razionali ℚ e dei numeri irrazionali 𝕀 forma l'insieme dei Numeri Reali (ℝ): ℝ = ℚ ∪ 𝕀.
📝 Esercizio Esempio Guidato #2 (Catena di Inclusione)
Testo: Classifica i seguenti numeri indicando l'insieme più piccolo a cui appartengono: 8/2, -5, 3/4, √7, 0,666...
Risoluzione passo-passo:
8/2 = 4→ È un numero intero positivo, quindi l'insieme minimo è ℕ.-5→ È un numero intero negativo, appartiene a ℤ (ma non a ℕ).3/4 = 0,75→ È una frazione non riducibile a intero (decimale finito), appartiene a ℚ.√7→ Non è un quadrato perfetto, è un decimale illimitato non periodico, appartiene a 𝕀 (e quindi a ℝ).0,666... = 2/3→ È un decimale periodico semplice, appartiene a ℚ.
5. Schema Sintetico delle Inclusioni
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Ogni numero Naturale è Intero, ogni Intero è Razionale e ogni Razionale è Reale.